Навчався у Лопатинському ліцеї Лопатинської селищної ради Львівської області. Здобув професійно-технічну освіту у Вищому професійному училищі №20 міста Львова.
Кадровий військовий. Повернувшись з армії, підписав контракт із Збройними Силами України. Із 2015 року виконував бойові завдання у зоні проведення антитерористичної операції/операції Об’єднаних сил.
За словами рідних, Михайло Климчук був «винятково добрим батьком та чоловіком. Його основним захопленням була його сім’я, він жив нею. Понад усе обожнював свою маленьку донечку».
Початок повномасштабного вторгнення росії зустрів на передовій. Боронив незалежність та суверенітет держави у лавах 24-ї окремої механізованої бригади імені короля Данила оперативного командування «Захід» Сухопутних військ Збройних Сил України. За сумлінну службу був нагороджений численними відзнаками.
У Михайла Климчука залишилися мама, дружина, 6-річна донька та двоє братів.